Forza utile e velocità di avanzamento in trasmissioni a cremagliera.
Conosci la coppia del tuo motore e il modulo del pignone. Da questi due dati puoi ricavare tutto: la forza che muove il carico, la velocità di avanzamento, la risoluzione di posizione. Le formule sono poche e dirette.
Dal motore al moto lineare
La trasmissione a cremagliera converte il moto rotatorio del pignone in traslazione lineare del carrello (oppure della cremagliera fissa con carrello mobile). Le due relazioni fondamentali sono:
Velocità di avanzamento: v = π × m × z × n (dove n è la velocità di rotazione del pignone in giri/s)
Forza tangenziale: Ft = 2 × Mt / d (dove Mt è la coppia motrice sul pignone e d = m × z è il diametro primitivo)
L'efficienza della trasmissione a cremagliera è in genere alta: η = 0,95 - 0,98, grazie allo strisciamento ridotto sui profili evolventi.
Tabella delle formule principali
| Parametro | Formula | Unità |
|---|---|---|
| Velocità di avanzamento | $v = \pi \times m \times z \times n$ | m/s (con n in giri/s) |
| Avanzamento per giro | s/giro = π × m × z | mm/giro |
| Forza tangenziale | $Ft = \frac{2 \times Mt}{(m \times z)}$ | N (Mt in N·mm) |
| Forza radiale | $Fr = Ft \times tan(20°) = 0{,}364 \times Ft$ | N |
| Forza risultante sul dente | $Fn = \frac{Ft}{cos(20°)} = 1{,}064 \times Ft$ | N |
| Potenza trasmessa | $P = Ft \times v$ | W |
| Coppia necessaria al pignone | $Mt = \frac{Ft \times m \times z}{2}$ | N·mm |
Forza utile ammissibile in nylon
La forza tangenziale ammissibile per una cremagliera dipende dal modulo, dalla larghezza del dente, dalla velocità di esercizio e dalla temperatura di lavoro.
Come riferimento per un primo dimensionamento: per cremagliere in PA6+30%FV (poliammide 6 rinforzata con il 30% di fibra di vetro), modulo 2, larghezza 20 mm, velocità inferiore a 0,5 m/s e temperatura inferiore a 40°C, la forza utile continua è nell'ordine di 150-300 N.
Per calcoli accurati, verifica la resistenza al piede del dente secondo ISO 6336 (lo standard internazionale per il calcolo della capacità portante degli ingranaggi) adattato alle proprietà del materiale polimerico, e la pressione hertziana sul fianco del dente (la pressione di contatto che si genera tra le superfici dei denti in presa). Entrambi i valori dipendono dal materiale specifico e dalle condizioni operative.
Esempio numerico completo
Scenario: carrello portapezzo su guida lineare. Dati: massa da traslare M = 15 kg, accelerazione massima a = 2 m/$s^2$, velocità massima v = 0,8 m/s, pignone m = 2, z = 20 in POM-C.
Calcolo della forza totale:
- Forza di inerzia: F_inerzia = 15 × 2 = 30 N
- Forza di attrito: F_attrito = 15 × 9,81 × 0,1 (coefficiente attrito guida) = 14,7 N
- Forza totale: F_totale = 44,7 N ≈ 45 N
Coppia motrice richiesta: Mt = F × d/2 = 45 × (2 × 20)/2 = 45 × 20 = 900 N·mm = 0,9 N·m
Velocità di rotazione del pignone: n = v / (π × m × z) = 0,8 / (π × 2 × 20 × 0,001) = 0,8 / 0,1257 = 6,36 giri/s = 382 giri/min
Avanzamento per giro: il dato da ricordare
L'avanzamento per giro è il valore da tenere a portata di mano quando si lavora con encoder incrementali sul motore, cioè i sensori che contano i giri e permettono di calcolare lo spostamento lineare del carrello.
- Pignone m = 2, z = 20: avanzamento = π × 2 × 20 = 125,7 mm/giro
- Pignone m = 3, z = 20: avanzamento = π × 3 × 20 = 188,5 mm/giro
Questi valori ti permettono di calcolare rapidamente la risoluzione di posizione dell'asse lineare in funzione della risoluzione dell'encoder.
Velocità periferica e limiti termici in nylon
Le cremagliere in tecnopolimero, sia PA6 che POM-C, hanno un limite di velocità periferica legato al calore generato per attrito tra i denti. Oltre 2-3 m/s, il calore prodotto può portare a usura accelerata o fusione localizzata del profilo.
Il limite non è uguale per tutti i nylon. Il PA6+GF (rinforzato con fibra di vetro) e le versioni con grafite reggono velocità più alte rispetto al PA6 non rinforzato o al POM-C standard. Prima di escludere il nylon per un'applicazione ad alta velocità, verifica il grado specifico e le condizioni termiche reali.
Per velocità superiori a 2-3 m/s con carichi significativi, valuta se il profilo in nylon è dimensionabile per quella condizione o se è preferibile orientarsi verso trasmissioni a cinghia dentata, che in quel range operano con minore sviluppo di calore.
Se la tua applicazione combina velocità elevata, carico variabile o temperatura ambiente alta, scrivici all'ufficio tecnico: verifichiamo insieme quale grado di materiale e quale geometria reggono le condizioni reali.